ani, budi, caca, dan dita membeli buku tulis, pensil, dan penghapus ditoko yang sama. ani membeli 1 buku tulis, 2 pensil, dan 1 penghapus dengan harga rp34000,0

Kelas : X (1 SMA)
Materi : Sistem Persamaan Linear
Kata Kunci : sistem persamaan linear tiga variabel

Pembahasan :
Persamaan berbentuk 
ax + by + cz = p 
dinamakan persamaan linear dengan tiga variabel.

Sekelompok persamaan berbentuk
a₁₁x + a₁₂y + a₁₃z = p,
a₂₁x + a₂₂y + a₂₃z = q,
a₃₁x + a₃₂y + a₃₃z = r,
dinamakan sistem persamaan linear dengan tiga variabel dengan a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃ dinamakan koefisien-koefisien dari variabel-variabel x, y, dan z, serta p, q, dan r dinamakan konstanta.
a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, dan a₃₃ ≠ 0 serta a₁₁, a₁₂, a₁₃, a₂₁, a₂₂, a₂₃, a₃₁, a₃₂, a₃₃, p, q, dan r ∈ R.

Penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel adalah menentukan pasangan terurut (x₀, y₀, z₀) yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel.

Metode penyelesaiannya ada 3, yaitu :
1. eliminasi
2. substitusi
3. gabungan eliminasi dan substitusi.
 
Mari kita lihat soal tersebut.
Pada sebuah toko buku, Ani, Budi, Caca,dan Dita membeli buku tulis, pensil, dan penghapus di toko yang sama. Ani membeli 1 buah buku tulis, 2 buah pensil, dan 1 buah penghapus dengan harga Rp18.000,00. Budi membeli 2 buah buku tulis, 3 buah pensil dan 2 buah penghapus dengan harga Rp32.000,00, sedangkan Caca membeli 3 buah buku tulis, 2 buah pensil, dan 1 buah penghapus dengan harga Rp34.000,00. Jika Dita membeli 3 buah buku tulis, 1 buah pensil, dan 1 buah penghapus, maka harga yang harus dibayar Dita adalah...

Jawab :
Diketahui 
buku tulis = x, pensil = y, dan penghapus = z, sehingga
x + 2y + z = 18.000 ... (1)
2x + 3y + 2z = 32.000 ... (2)
3x + 2y + z = 34.000 ... (3)

Ketiga persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear 3 variabel x, y, dan z. Kita dapat mencari nilai x, y, dan z dengan menggunakan metode gabungan eliminasi dan substitusi.
Pertama, persamaan (1) dan (2) kita eliminasi x, diperoleh
x + 2y + z = 18.000      |.2|
2x + 3y + 2z = 32.000 |.1|

2x + 4y + 2z = 36.000
2x + 3y + 2z = 32.000
___________________-
⇔              y = 4.000 ... (4)

Kedua, persamaan (1) dan (3) kita eliminasi x, diperoleh
x + 2y + z = 18.000    |.3|
3x + 2y + z = 34.000 |.1|

3x + 6y + 3z = 54.000
3x + 2y + z = 34.000
__________________-
⇔ 4y + 2z = 20.000
⇔ 2y + z = 10.000 ... (5)

Persamaan (4) kita substitusikan ke persamaan (5), diperoleh
2y + z = 10.000
⇔ z = 10.000 - 2y
⇔ z = 10.000 - 2(4.000)
⇔ z = 10.000 - 8.000
⇔ z = 2.000 ... (6)

Persamaan (5) dan (6) kita substitusikan ke persamaan (1), diperoleh
x + 2y + z = 18.000
⇔ x = 18.000 - 2y - z
⇔ x = 18.000 - 2(4.000) - 2.000
⇔ x = 18.000 - 8.000 - 2.000
⇔ x = 8.000

Dita membeli 3 buah buku tulis, 1 buah pensil, dan 1 buah penghapus, maka
3x + y + z
= 3(8.000) + 4.000 + 2.000
= 24.000 + 4.000 + 2.000
= 30.000

Jadi, jika Dita membeli 3 buah buku tulis, 1 buah pensil, dan 1 buah penghapus, maka ia harus membayar sebanyak Rp30.000,00.

Semangat!